Pertemuan 3: Aljabar Boolean - Sistem Digital dan Logika

🎯Tujuan Pembelajaran

Sub-CPMK 2.1: Menerapkan hukum aljabar Boolean

📚 Hukum Boolean

Memahami postulat dan hukum dasar aljabar Boolean

🔧 Penyederhanaan

Mampu menyederhanakan ekspresi Boolean menggunakan hukum aljabar

⚡ Teorema De Morgan

Menerapkan teorema De Morgan untuk transformasi ekspresi

💡 Aplikasi Praktis

Mengaplikasikan aljabar Boolean dalam desain rangkaian digital

📖 Pengantar Aljabar Boolean

Aljabar Boolean adalah sistem matematika yang dikembangkan oleh George Boole untuk menganalisis dan menyederhanakan rangkaian logika digital. Beroperasi pada nilai biner (0 dan 1) dengan operasi AND, OR, dan NOT.

Konsep Dasar Aljabar Boolean

Variabel: Simbol yang merepresentasikan nilai biner (A, B, C, ...)

Operasi: AND (·), OR (+), NOT (')

Ekspresi: Kombinasi variabel dan operasi (contoh: A·B + A'·C)

Fungsi: Hubungan antara input dan output yang dinyatakan dalam ekspresi Boolean

⚖️ Hukum dan Postulat Aljabar Boolean

Hukum Identitas

Identity Laws

A + 0 = A

A · 1 = A

Penjelasan: Variabel dengan operasi identitas menghasilkan variabel itu sendiri

Hukum Null

Null Laws

A + 1 = 1

A · 0 = 0

Penjelasan: Variabel dengan operasi null menghasilkan nilai ekstrem

Hukum Idempoten

Idempotent Laws

A + A = A

A · A = A

Penjelasan: Operasi variabel dengan dirinya sendiri menghasilkan variabel itu sendiri

Hukum Komplemen

Complement Laws

A + A' = 1

A · A' = 0

Penjelasan: Variabel dengan komplemennya menghasilkan nilai identitas

↔

Hukum Komutatif

Commutative Laws

A + B = B + A

A · B = B · A

Penjelasan: Urutan operasi tidak mempengaruhi hasil

()

Hukum Asosiatif

Associative Laws

A + (B + C) = (A + B) + C

A · (B · C) = (A · B) · C

Penjelasan: Pengelompokan operasi tidak mempengaruhi hasil

⇄

Hukum Distributif

Distributive Laws

A · (B + C) = A·B + A·C

A + (B · C) = (A + B) · (A + C)

Penjelasan: Operasi dapat didistribusikan seperti dalam aljabar biasa

⇓

Hukum Absorpsi

Absorption Laws

A + A·B = A

A · (A + B) = A

Penjelasan: Ekspresi dapat diserap menjadi bentuk yang lebih sederhana

🌟 Teorema De Morgan

Teorema De Morgan sangat penting dalam penyederhanaan rangkaian digital dan transformasi antara gerbang AND-OR dan NAND-NOR.

⊼ Teorema 1: AND ke NOR

(A · B)' = A' + B'

Penjelasan: Komplemen dari AND sama dengan OR dari komplemen

Aplikasi: Mengubah gerbang AND menjadi gerbang NOR

⊽ Teorema 2: OR ke NAND

(A + B)' = A' · B'

Penjelasan: Komplemen dari OR sama dengan AND dari komplemen

Aplikasi: Mengubah gerbang OR menjadi gerbang NAND

Contoh Aplikasi Teorema De Morgan

Contoh 1: Sederhanakan ekspresi (A·B·C)'

(A·B·C)' = A' + B' + C'

Contoh 2: Sederhanakan ekspresi (A+B+C)'

(A+B+C)' = A'·B'·C'

Contoh 3: Transformasi gerbang

A·B + C·D = ((A·B)' · (C·D)')'

🔧 Alat Penyederhanaan Ekspresi Boolean

Penyederhanaan Interaktif

Masukkan Ekspresi Boolean:

Metode Penyederhanaan:

Hasil Penyederhanaan:

Hasil akan ditampilkan di sini...

📝 Contoh Penyederhanaan

Contoh 1: Penyederhanaan dengan Hukum Aljabar

Ekspresi Asli: A·B + A·B' + A'·B

Langkah 1: A·(B + B') + A'·B

Langkah 2: A·1 + A'·B

Langkah 3: A + A'·B

Langkah 4: (A + A')·(A + B)

Langkah 5: 1·(A + B)

Hasil: A + B

Contoh 2: Aplikasi Teorema De Morgan

Ekspresi Asli: (A + B·C)'

Langkah 1: A' · (B·C)'

Langkah 2: A' · (B' + C')

Hasil: A'·B' + A'·C'

💡

Latihan & Evaluasi

Soal 1: Sederhanakan ekspresi berikut menggunakan hukum aljabar Boolean:

A·B·C + A·B·C' + A·B'·C + A'·B·C
(A + B)·(A + C)
A·B + A·C + B·C

Soal 2: Terapkan teorema De Morgan pada ekspresi berikut:

(A·B + C·D)'
((A + B)·(C + D))'
(A' + B·C')'

Soal 3: Buktikan persamaan berikut menggunakan tabel kebenaran:

A·B + A'·C + B·C = A·B + A'·C

Sistem Digital dan Logika